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  • Théorème d'Ascoli

    Formulaire de report

    Théorème d'Ascoli :
    • \((X,d_X)\) et \((Y,d_Y)\) sont deux espaces métriques compacts

    $$\Huge\iff$$
    • \(\operatorname{Lip}_1(X,Y):=\{f:X\to Y\mid f\text{ est 1-lipschitz}\}\) est un compact métrique pour la distance $$d(f,g)=\max_{x\in X}d_X(f(x),g(x))$$


    Démonstration du théorème d'Ascoli.

    La précompacité entraîne la séparabilité.

    Si on prend une suite, alors sa limite est bien définie sur \(D\) par extraction diagonale.

    \(f\) est \(1\)-lipschitz en tant que limite de fonctions \(1\)-lipschitz.

    On utilise le Prolongement d'une fonction uniformément continue pour étendre \(f\) à \(X\).

    On montre que la convergence est uniforme, en s'aidant du fait qu'elle l'est pour \(D\) et que \(D\) est dense.


    Corollaire du théorème d'Ascoli sur les espaces équicontinus :
    • \((X,d_X)\) et \((Y,d_Y)\) sont des espaces métriques compacts
    • \({\mathcal F}\) est une famille équicontinue de fonctions \(f:X\to Y\)

    $$\Huge\iff$$
    • \({\mathcal F}\) est uniformément équicontinue
    • \({\mathcal F}\) est une partie relativement compacte de \(\mathcal C^0(X,Y)\)


    Démonstration du théorème d'Ascoli sur les espaces équicontinus :

    (\({\mathcal F}\) est une partie relativement compacte)

    On pose \(F\) la fonction qui associe à un point la suite de ses évaluations par \(f\in{\mathcal F}\), et on munit \(Y^{\mathcal F}\) de la distance de la convergence uniforme.

    On peut donc appliquer le Théorème de Heine pour avoir la continuité uniforme de \(F\), et donc l'équicontinuité uniforme de \({\mathcal F}\).

    On peut avoir des hypothèses sur le module de continuité uniforme.

    En composant \(\omega\) avec la distance, on obtient une distance qui définit la même topologie.

    De plus cette distance rend \({\mathcal F}\) relativement compacte d'après le Théorème d'Ascoli.


    Théorème d'Ascoli, version \(\mathcal C^k\) :
    • \(\Omega\subset{\Bbb R}^d\) est un ouvert convexe borné

    $$\Huge\iff$$
    • la boule unité de \(\mathcal C^{k+1}_b(\Omega)\) est est relativement compacte dans \(\mathcal C_b^k(\Omega)\)


    START
    Théorème
    Théorème d'Ascoli (version bibmath) Hypothèses:
    • \(X\) est un espace métrique compact
    • \(Y\) est un espace métrique
    • \(A\subset\mathcal C(X,Y)\)

    Résultats:
    • \(A\) est relativement compacte si et seulement si ces deux conditions sont vérifiées :
            
      1. \(A(x):=\{f(x)\mid f\in A\}\) est relativement compact dans \(Y\) pour tout \(x\in X\)

        
  • \(A\) est équicontinue

  • Equivalence?:
    Résumé: Permet de caractériser à l'aide de notions d'Equicontinuité les parties relativement compactes de l'espace des fonctions continues d'un espace métrique compact dans un espace métrique.
    END

    Exercices

    Soit \(F\) un sous-espace vectoriel Fermé de \(\mathcal C([0,1])\) muni de la norme de la convergence uniforme.
    On suppose que tous les éléments de \(F\) sont dans \(\mathcal C^1([0,1])\).
    On sait qu'il existe \(C\gt 0\) tq $$\forall f\in F,\quad\lVert f^\prime\rVert_\infty\leqslant C\lVert f\rVert_\infty.$$
    En déduire que la boule unité fermée de \(F\) (pour \(\lVert\cdot\rVert_\infty\)) est compacte.

    Puisqu'on se place dans la boule unité de \(F\), on l'espace d'arrivée est un compact et utiliser le Théorème d'Ascoli (caractère lipschitz vient de la question précédente).

    On conclut sur la boule unité, qui est un fermé d'un compact.


    On considère l'espace \(\operatorname{Lip}([0,1])\) l'espace des Fonction lipschitziennes sur \([0,1]\).
    On définit sur cet espace l'application \(N\) : $$\forall f\in\operatorname{Lip}([0,1]),\quad N(f)=\lVert f\rVert_\infty+\sup_{x\ne y}\frac{\lvert f(x)-f(y)\rvert}{\lvert x-y\rvert}.$$On rappelle que cet espace est alors complet pour cette Norme.
    Montrer que \(B=\{f\in\operatorname{Lip}([0,1])\mid N(f)\leqslant 1\}\) est une partie compacte de \((\operatorname{Lip}([0,1]),N)\).

    On montre que \(B\) est borné via \(\lVert\cdot\rVert_\infty\).

    Toutes ces fonctions sont \(1\)-lipschitziennes, donc on a trouvé un Module de continuité uniforme qui rend \(B\) uniformément équicontinue.

    \(B\) est donc relativement compact d'après le Théorème d'Ascoli.

    Il reste à montrer que \(B\) est fermé, ce qui se fait par passage à la limite.



  • Rétroliens :
    • Théorème d'Ascoli
    • Théorème de Cauchy-Arzelà-Peano